Java Console を使わないため今まで気付きませんでしたが、私も同様の症状が起きております。
環境は WindowsXP SP3 + Firefox 3.5.1 + JRE 6.0.14 です。
JavaRa を使って、古い JRE をすべて削除しても、Firefox のプラグインのところにいくつか
残っていたため、pal さんがご提示くださったサイトを参考にして、拡張機能のところに表示
されるようにして削除しました(extensions.rdf 内、該当部分の hidden を false にする方法)。
JRE 関連でプラグインのところに残っているのは Java Deployment Toolkt 6.0.1480.8 と
Java(TM) Platform SE 6 U14 だけになっているのですが、これでもやはり最初の状態のまま
ですね(メニューから Java Console を選んでも無反応、次にメニューを見るとグレイアウト)。
(当たり前なのかもしれませんが) タスクトレイのアイコンからは「1.6.0_14 コンソールを開く」
で開けています。
この辺りはあまり詳しくないので参考にならないかもしれませんが、いろいろと試してみることは
できますので、何かありましたらご指示ください。