ご返信が遅れて申し訳ありません。

下記のサイトを参考に設定してみましたが、正常に機能するときとしないときがありました。
Gmail™ Notifier (restartless)は、バグではないと思うのですが…。

http://jutememo.blogspot.com/2013/07/firefox-gmail.html

私の場合、特定の相手からのメールだけ通知してほしい（特定の「ラベル」を付けたメールを受け取った時だけ、デスクトップに通知してほしい）ので、アドオン > Gmail Notifier の設定 > Gmail feeds:において、https://mail.google.com/mail/u/0/feed/atom/ラベル名, https://mail.google.com/mail/u/0/feed/atom/ラベル名というふうに10個くらい列挙しました。

これが正常に機能する場合でも、例えば同時に複数の「ラベル」を付けたメールを受信したとき、デスクトップ通知は一番上段のラベルのみが表示され、同時に複数のデスクトップ通知は行われませでした。

ちなみに使用しているアカウントは1つです。

そしてなぜかこれが正常に機能しないときもあり、【メイン】カテゴリに受信したメールのみが通知されました。

【メイン】カテゴリのみを受信する設定は、一切行っていません。

試しに【メイン】カテゴリに受信したメールのみを通知する設定も行ってみましたが、フィルタで受信トレイをスキップしたメールまでは表示されませんでした。

やはり私の設定の仕方が間違っているのかもしれません。

長くなりましたが、私も実はThunderbirdユーザーで、Gmailは使いにくいと個人的に感じました。

そのような訳で、今後はThunderbirdのみを使用したいと思います。

この度は大変お世話になりまして、本当に本当にどうもありがとうございました。

[quote="ドンチ"]「Checker Plus for Gmail」をインストールして、アドオンマネージャ（拡張機能の管理）画面でこのアドオンの詳細を表示しますのリンクをクリックすると、下記の説明が表示されます。[/quote]
了解です。

[quote="ドンチ"]Gmailを開くことなくとはどのような意味なのでしょうか？[/quote]
文字通りの意味です。ご自分で実際に試してみるのがよろしいかと。
ちなみに私の前の投稿ではGoogleのメールサービスを指してGmailと書いてましたが、ここでの「Gmail」はブラウザで開くGoogleが提供するWebメールアプリ、すなわち↓の画面のことを指しています。[attachment=0]Gmail.jpg[/attachment]（以後「」付きで書いた場合は後者の意味とします）

Checker やら Notifier とかのメール関連アプリ／拡張機能の類は新着メールを知らせるのが本来の役目です。
Checker Plus for Gmail はそれに加えて、Firefoxのツールバーのアイコンをクリックして表示される画面で、Gmailを読んだり、削除したり、アーカイブしたり、返信や転送したり、新規に送信したりといったことを、「Gmail」を開かずに行うことができるようです。
日々の未読メールを処理するだけなら、開くのに少々重い「Gmail」を開かなくとも Checker Plus for Gmail でこなせてしまう、ということかと。

[quote="ドンチ"]「Checker Plus for Gmail」で1クリックで、Gmailのサインイン画面を表示することはできないのでしょうか？[/quote]
できません。
あれはChecker Plus for Gmail ではなく Google側がやっていることですので。

[quote="ドンチ"]「Notifer for Gmail（TM)」というアドオンでできるようなのですが、設定の仕方が複雑でしかも英語なので下記のサイトを参考にしましたが、理解できませんでした。[/quote]
えーと、Gmail™ Notifier ですよね？ Firefox Add-ons では下記の。
[url=https://addons.mozilla.org/ja/firefox/addon/gmail-notifier-restartless/]Gmail™ Notifier (restartless)[/url] 　作成者: InBasic

ググったらすぐ下に http://jutememo.blogspot.com/2015/04/gmail-notifier-gmail.html というブログ記事も見つかります。
それらを読んでも理解できないならあきらめてください。

[quote="ドンチ"]Gmailにサインインした状態で、新着メールと新着メールをアーカイブしてフィルタに入ったすべてのメールを、ポップアップで通知してくれるアドオンは、「Checker Plus for Gmail」以外にございますか？[/quote]
私はThunderbirdユーザーでこの種の拡張機能にはあまり興味がないので、お力にはなれないです。

まずアドオンの説明ですが、Firefox Add-onsのページから「Checker Plus for Gmail」をインストールして、アドオンマネージャ（拡張機能の管理）画面でこのアドオンの詳細を表示しますのリンクをクリックすると、下記の説明が表示されます。

Gmailを開くことなく、通知を受け、読み、読み上げを開き、削除し、メールします。そして簡単に複数のアカウントを管理します。

改めまして、Gmailを開くことなくとはどのような意味なのでしょうか？

EarlgreyTea様がおっしゃる通り、確かに対象のGoogleアカウントにサインインしていなければ、Gmailにアクセスできないという意味は分かります。

また、「Checker Plus for Gmail」で1クリックで、Gmailのサインイン画面を表示することはできないのでしょうか？
一度青文字のサインインというリンクをクリックした後、Gmailを読み込んでいますと表示されますが、さらにパスワードを入力するGmailのサインイン画面が再び表示され、これが二度手間に感じます。

さらに質問が変わります。
Gmailにサインインした状態で、新着メールと新着メールをアーカイブしてフィルタに入ったすべてのメールを、ポップアップで通知してくれるアドオンは、「Checker Plus for Gmail」以外にございますか？

私が調べた結果、「Notifer for Gmail（TM)」というアドオンでできるようなのですが、設定の仕方が複雑でしかも英語なので下記のサイトを参考にしましたが、理解できませんでした。

https://8beat-studio.net/firefox-gmail-notifier-option/

もしどなたかお詳しい方がいらっしゃいましたら、ぜひご教示ください。

それでは今後ともどうぞよろしくお願いいたします。

[quote="ドンチ"]このアドオンの説明には、 G mailを開くことなく通知を受けられるとありますが[/quote]
Firefox Add-ons のページ https://addons.mozilla.org/ja/firefox/addon/checker-plus-gmail/ にはそのような記述は無いようですが、
chrome ウェブストアのページ https://chrome.google.com/webstore/detail/checker-plus-for-gmail/oeopbcgkkoapgobdbedcemjljbihmemj?hl=ja の方でしょうか？

[quote="ドンチ"]これはG mailにサインインしていない状態でも、新着メールを受信できるという意味ではありませんか？[/quote]
当然、対象のGoogleアカウントにサインインしていなければ Gmailにアクセスできません。
もしサインインせずにアクセスできたとしたら、それはGoogleのサーバーに不正アクセスしていることになります。

[quote="ドンチ"]どこか設定をする必要があるのでしょうか？[/quote]
サインインが必要ですので、拡張機能にアカウント設定が必要となるわけです。
Checker Plus for Gmail の設定ページ（アドオンページのChecker Plus for Gmail の「設定」ボタン）の「アカウント/ラベル」で設定を行います。[attachment=0]Checker Plus for Gmailアカウントラベル設定.jpg[/attachment]
Firefox ブラウザでサインインしているのであれば、そのアカウントを自動検出して使いますが、そうでない場合は、「アカウントを追加し、サインインを保持する」にしてアカウント設定を追加する必要があります。
そしてアカウントを追加する際に、Googleにサインインする手順を踏みます。

このアドオンの説明には、 G mailを開くことなく通知を受けられるとありますが、これはG mailにサインインしていない状態でも、新着メールを受信できるという意味ではありませんか？

また、上記の希望を叶えたい場合、どこか設定をする必要があるのでしょうか？

さらに、新着メールが届くとG mailを開くことなく、アイコンやポップアップで通知してくれるアドオンは、「Checker Plus for Gmail」以外にございますか？

ちなみに、「Checker Plus for Gmail」、「G mailTM Notifer（restartless）」、「G mailTM Notifer+」のすべてのアドオンを試してみましたが、どれも希望の機能を果たしてくれませんでした。

いずれのアドオンを使うにしても、どこか設定方法があるのでしょうか？

一番簡単な方法で私の希望を叶えてくれるアドオンは、どれですか？

それではお手数をおかけいたしまして恐れ入りますが、どうぞよろしくお願いいたします。

ブラウザ：Firefox Quantum（64ビット：最新版）、OS：Windows7（64ビット版）