(1)以下のもじら組フォーラムの以下のトピックの WADA さんの説明をよく読んでください。
  
もじら組フォーラム : 送信はできるのですが・・・ちょっとした不具合が
  上記にはバグも紹介されていますので参照してください。
  下記は RESOLVED FIXED となっていて一応修正済みです。
  
Bug 206408 – spin when copying message to "Sent" folder
  下記は REOPENED となっています。
  
Bug 413240 – after sending message, "Copying to sent folder" doesn't finish
(2)「次のアカウントの ”送信済みトレイ” フォルダ」のチェックを外しても再現するのかどうか。
  このトピックの当初の質問投稿者 co さんが書かれているようにコピー保存のチェックを外す
  と「sent フォルダメッセージをコピーしています」のウィンドウ表示は出なくなったとのことです。
  このチェックを外しても再現するのですか?
  コピー保存のチェックを外したのに「送信済みトレイ」に送信メールが保存されるのですか?
(3)IMAP アカウントの場合は私のところでも再現します。
   [環境: Windows XP SP3、Thunderbird 3.1.1 日本語版]
  「次のアカウントの ”送信済みトレイ” フォルダ」にチェックを入れるとコピーできない旨のウィ
  ンドウ表示が出て [OK] [キャンセル] とも機能しなくなったりします。
  とりあえずの回避策は「その他のフォルダを指定する」にチェックを入れて IMAP アカウントの
  「送信済みトレイ」を指定すると正常に機能します。
 
わたしもです さんが書きました:
何度も再インストールしているのですが同じ症状が出ます
多くの不具合などの問題はプロファイル側で起きますので再インストールはほとんど無意味です。
プログラム本体側に問題がある場合もバグが修正されない限り再インストールしてもこれまた無
意味です。
 
#起きている問題がまったく同じならば失礼ながらここに追加投稿してもほとんど意味があり
  ません。
#バージョンや環境も異なるし、現象も異なるのでしたら既存のトピックに追加投稿しないで
  新たにトピックを投稿しましょう。