haku さんが書きました:
OSはWindows8.1 pro 64 bit及びWindows10 Pro 64 bitです。
FireFox ver. は正式版の46.0です（ver. 45以降）。
正式版を使っているFireFox以外からの書き込みです（どちらでも起きる症状ですが）。
以下、Windows OS 上にある Firefox 46.0.x の動作を前提に書きます。
haku さんが書きました:
他のプログラムを使用するファイルにいての操作を [毎回確認する] と設定していますが、
[オプション] -> [プログラム] で [毎回確認する] の動作が指定されたファイルタイプ（以下、例として PDF ファイルを意識して述べます）のリンクをクリックしたとき、通常は動作選択の確認ダイアログ（X）が開きます。
ここで、[ファイルを保存する] を選択した場合、[オプション] -> [一般] -> [ダウンロード] で指定された内容に従って、ファイルのダウンロードが進みます。
（i）[オプション] -> [一般] -> [ダウンロード] の初期設定は [次のフォルダに保存する] なので、このままなら保存先をユーザーに尋ねることなくダウンロードが開始され、自動的に既定の場所に保存されます。
（ii）[ファイルごとに保存先を指定する] を選択してあれば、ダウンロード開始の前に保存先を指定するダイアログ（Y）が開き、そこでユーザーの望む場所を指定できます。[保存] ボタンでダウンロードが開始されます。
haku さんが書きました:
ファイルへのリンクをクリックして新しいウィンドウで開かれた場合に、ダウンロード先を指定するダイアログを出したいです。
[毎回確認する] の動作が指定されているファイルタイプなら、動作選択の確認ダイアログ（X）を飛ばして、保存先を指定するダイアログ（Y）が開かれることは、通常ありません。
ファイルへのリンクを普通にクリック（単純な左クリック）したとき、新しいウィンドウが開かれる場合と、そうでない場合があるのですか？ だとしたら、サイト側の設定が影響している可能性が考えられます。
ファイルへのリンクを普通にクリックしたとき、新しいウィンドウが開かれないサイトでは、希望どおりのダウンロードができているのですか？
haku さんが書きました:
現状では、ダイアログが一瞬だけポップアップしてすぐ消えてしまうので、保存も別のプログラムで開くこともできません。
ファイルを新しいタブで開くようにリンクをクリックすれば、ポップアップは消えずに保存や閲覧が可能です。
「すぐ消えてしまう」のは、[毎回確認する] の確認ダイアログ（X）のことを仰っているのだと思いますが、ファイルへのリンクを普通にクリック（単純な左クリック）したとき、
（a）新しいタブもウィンドウも開かれないでダイアログが正常に表示される
（b）新しいウィンドウが勝手に開かれ、ダイアログが表示されない
（c）新しいタブが勝手に開かれるが、ダイアログは表示される
（d）その他
―― のような動作パターンが、サイトによって異なるということですか？
普通のクリック（単純な左クリック）で（b）（c）を意図的に開かせることはできませんが、ひょっとして右クリックから「リンクを新しいタブで開く」や「リンクを新しいウィンドウを開く」、またはマウスの中ボタンでリンクをクリックしてるってことはないですよね。
通常、ダウンロードを目的とするファイルに対して、新しいウィンドウやタブを開く動作は必須ではありません。
ただし、サイト側の設定条件によっては、いったん別ページに飛ばされるとか、広告ページなどが表示されるといったケースがあり、そのときに新しいタブ（ユーザーの設定によってはウィンドウ）が開かれることはありえます。
しかし、そういうケースであっても、[毎回確認する] や [ファイルごとに保存先を指定する] の設定内容に従った動作がおこなわれ、（X）（Y）のダイアログが順番に表示されるのが、Firefox の標準的な動作です。
引用:
新しいウィンドウで開いて、ダウンロード先を指定するダイアログを出したいです。
何度も「新しいウィンドウ」という表現が出てきますが、仰っている意味がよくわかりません。
ファイルのリンクをクリックしたとき、開きたくないのに新しいウィンドウ開いてしまうのか、意識的に開きたいのか、どちらですか？
くり返しますが、ダウンロードを実行するとき、新しいウィンドウやタブを開く動作は必須条件ではありません。Firefox の設定さえ間違えていなければ、新しいウィンドウやタブに関係なく、確認ダイアログは表示されます。そのためだけの特別な操作は本来必要ありません。
共通のテスト対象として一例を挙げます。
「[毎回確認する] と設定しています」の状態で、下記ページにある PDF ファイルのリンク（複数あるどれでも）を普通にクリックすると、標準状態の Firefox では新しいウィンドウやタブは開かれず、その場で [毎回確認する] のダイアログ（X）が出ます。（サイト側は、新しいウィンドウやタブを開かない条件を満たしています。）
そして、[ファイルを保存する] を選択すれば、[オプション] -> [一般] -> [ダウンロード] で指定された内容（上記、i または ii）でダウンロードが進みます。
（ダウンロードするPDF ファイルの例）
・情報セキュリティ10大脅威 2016：IPA 独立行政法人 情報処理推進機構
https://www.ipa.go.jp/security/vuln/10threats2016.htmlしかし、haku さんのところでは、
・新しいウィンドウが開いてしまう
・[毎回確認する] のダイアログ（X）が出ない
―― といった動作になってしまうのなら、haku さんの環境にそういう（標準とは違う）動作を生み出す何かしらの原因があるのだと考えられます。
そこを見極めないと、解決策も見えてこないと思います。
ちなみに、上記のページで PDF ファイルのリンクに対して、右クリックから [リンクを新しいウィンドウで開く] を実行すると、新しいウィンドウが開かれはしますが、[毎回確認する] のダイアログ（X）は問題なく開いてくれます。
なので、基本的なトラブルシューティングの「セーフモード」や「新しいプロファイル」で動作確認をしっかりおこない、アドオンの影響の有無や現行プロファイルの問題等を切り分けてください。特定のサイトでのみご質問の症状が出るのか、サイトに関係なく一律に起こるのかによっても着眼点が変わってくるので、そのあたりも意識したほうがいいでしょう。
Firefox の標準動作、現状での通常起動時の動作、「セーフモード」や「新しいプロファイル」での起動時の動作を比較検討することで、いまよりは問題点を絞り込めると思います。
Firefox の特定バージョン以降に起こり出した問題なら、Firefox 自体のバグもありえますが、他のユーザー環境では起こっていないのなら、まずは問題の起こるユーザー環境に固有の原因があると考えるのが順当です。その場合、導入しているアドオンが影響している可能性が高いと思います。
（補足）
最近はあまり見かけませんが、PDF ファイルに対してサイト側の Content Type (MIME Type) 指定と、ユーザー側の Firefox のそれが食い違っている場合、ユーザーが Firefox に施した設定とは異なる動作になってしまうケースはありえるかもしれません。
サイト（サーバー）側の Content Type 指定が間違っている場合は、そのサイトだけで問題が起こりますが、他の正常なサイトでは起こらないはずです。
しかし、万一ユーザー（Firefox）側の Content Type が間違って登録されていたら、いろんなサイトで同様の問題が起こる可能性はありえます。
こういう場合は、次の記事を見てください。[オプション] -> [プログラム] の画面右上にある (?) アイコンをクリックすると、ヘルプページが開きます。そこに対処方法が書かれています。必要に応じてリンク先の記事にも目を通してください。
（別解）
Web ページ上に置かれたファイルへのリンクが、ストレートにそのファイルを指しているのなら（例：上記 IPA のページとか）、右クリックから [名前を付けてリンク先を保存] で、そのファイルをダウンロードできます。「名前を付けて」なので、[オプション] -> [一般] -> [ダウンロード] の設定に関わらず保存ダイアログが開きます。
ただし、サーバー側がリンク先を動的にコントロールしているのなら、この方法が通用しない場合があります。
もともと、PDF ファイルを Firefox 内で表示せずダウンロードする選択を常用したいのなら、[毎回確認する] ではなく [ファイルを保存] にしてしまうのも手でしょう。
とりあえず以上です。PDF ファイルを例に述べましたが、他のファイルタイプでも基本的な考え方は同じです。
（おまけ）
ご承知のことなら余計なお世話になってしまいますが......。
Firefox 46.0 と 48.0 など、複数バージョンの Firefox を並行して使っている場合、ひとつのプロファイルを複数のバージョンで共有していると、プロファイルに障害が起こりやすくなります。
必ず問題が起こるわけではありませんが、とくに開発版ではテスト用に組み込まれている一時的な機能があったりして、それに対応するファイルがプロファイル内に作られたり、同一の機能に関与するファイルが変更されていることがあります。
Firefox を順番にアップデートしていく分には、ひとつのプロファイルをそのまま使っていても新旧の差異を吸収する形で引き継がれるよう工夫されていますが、ひとつのプロファイルで異なるバージョンを進んだり戻ったりしていると、プロファイル内のファイル構造に乱れが生じやすくなります。使っているアドオンも、Firefox のバージョンによって動作不良の有無が分かれることがあります。
順当なアップデートでも、ユーザーが施していた設定変更やカスタマイズの状況、使っているアドオンの種類によっては、新しいバージョンに更新した直後に問題の起こるケースがあります。まして、通常版と開発版でひとつのプロファイルを使い回していると、思いがけない問題が発生する可能性は十分考えられます。
バージョンの異なる Firefox を並行して常用する場合は、それぞれのバージョン用にプロファイルを分けるほうが安全でしょう。
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